Quote: Originally posted by Erstamm on 2004-02-17 11:54:49
n! désigne factorielle n : n!=n*(n-1)...1 avec les conventions 0!=1!=1 et (-1)!=...=(-n)!=0.
Exactement n!/(k_1!*...k_m!)*p_1^k_1*...*p_m^k_m.
P(avoir k mouches d'un type donné M_i)=n!/k!*(n-k!)*p_i^k*(1-p_i)^(n-k).
P(avoir au moins k mouches d'un type donné M_i)=n!/k!*(n-k)!*p_i^k*(1-p_i)^(n-k).
On s'intéresse à {situations où le troll a exactement k mouches du meme type}=H_k.
H_k={k mouches du type M_1}U{k mouches de type M_2}U...U{k mouches du type M_m}
H_3={(3,3)} et P(H_3)=6!/3!/3!*(1/2)^3*(1/2)^3=6*5*4*3*2*1/(3*2*1)/(3*2*1)/8/8=5/16. G_3_1={(3,3)} et G_3_2={(3,3)}. Donc P(G_3_1)=5/16=P(G_3_2) et 5/16=P(H_3)=P(G_3_1UG_3_2)<P(G_3_1)+P(G_3_2)=5/8. Modifions la formule pour tenir compte de des éléments présents dans G_3_1 et G_3_2. P(G_3_2UG_3_1)=P(G_3_1)+P(G_3_2)-P
P(H_k)=P(G_k_1)+P(G_k_2)-P(Inter(G_k_1,G_k_2))=C(n,k)*p_1^k*(1-p_1)^(n-k)+C(n,k)*p_2^k*(1-p_2)^(n-k)-P(Inter(G_k_1,G_k_2))
P(Inter(G_k_1,G_k_2))=P(Avoir k mouches de type 1 et k de type 2)=0
=C(n,k)*p_1^k*p_2^k=C(n,k)*p_1*(1-p_1)^(n-k) car k=2*n et p_1+p_2=1
=P(G_k_1)=P(G_k_2) lorsque k=2*n.
Donc P(H_k)= C(n,k)*p_1^k*(1-p_1)^(n-k)+C(n,k)*p_2^k*(1-p_2)^(n-k) si n ne vaut pas 2*k
= C(n,k)*p_1^k*(1-p_1)^(n-k) = C(n,k)*p_2^k*(1-p_2)^(n-k) si n=2*k
P(H_k)=P(G_k_1)+P(G_k_2)+P(G_k_3)-P(Inter(G_k_1,G_k_2))-P(Inter(G_k_1,G_k_3))-P(Inter(G_k_2,G_k_3))+P(Inter(G_k_1,G_k_2,G_k_3))
P(G_k_1)+P(G_k_2)+P(G_k_3)=C(n,k)*p_1^k*(1-p_1)^(n-k)+C(n,k)*p_2^k*(1-p_2)^(n-k)+C(n,k)*p_3^k*(1-p_3)^(n-k)
P(Inter(G_k_2,G_k_3))=n!/k!/k!/(n-2*k)!*p_3^k*p_2^k*(1-p_3-p_2)^(n-2*k)
P(Inter(G_k_1,G_k_3))=n!/k!/k!/(n-2*k)!*p_1^k*p_3^k*(1-p_1-p_3)^(n-2*k)
P(Inter(G_k_1,G_k_2,G_k_3)= 0 si n ne vaut pas 3*k
= n!/k!/k!/k!*p_1^k*p_2^k*p_3^k si n=3*k
Donc P(H_k)= C(n,k)*p_1^k*(1-p_1)^(n-k)+C(n,k)*p_2^k*(1-p_2)^(n-k)+C(n,k)*p_3^k*(1-p_3)^(n-k)-n!/k!/k!/(n-2*k)!*p_1^k*p_2^k*(1-p_1-p_2)^(n-2*k)-n!/k!/k!/(n-2*k)!*p_3^k*p_2^k*(1-p_3-p_2)^(n-2*k)-n!/k!/k!/(n-2*k)!*p_1^k*p_3^k*(1-p_1-p_3)^(n-2*k)+0 si n ne vaut 3*k
= C(n,k)*p_1^k*(1-p_1)^(n-k)+C(n,k)*p_2^k*(1-p_2)^(n-k)+C(n,k)*p_3^k*(1-p_3)^(n-k)-n!/k!/k!/(n-2*k)!*p_1^k*p_2^k*(1-p_1-p_2)^(n-2*k)-n!/k!/k!/(n-2*k)!*p_3^k*p_2^k*(1-p_3-p_2)^(n-2*k)-n!/k!/k!/(n-2*k)!*p_1^k*p_3^k*(1-p_1-p_3)^(n-2*k)+n!/k!/k!/k!*p_1^k*p_2^k*p_3^k si n=3*k
On peut simplifier l'expression si n vaut 3*k : C(3*k,k)*p_1^k*(1-p_1)^(2*k)+C(3*k,k)*p_2^k*(1-p_2)^(2*k)+C(3*k,k)*p_3^k*(1-p_3)^(2*k)-2*(3*k)!/k!/k!/k!*p_1^k*p_2^k*p_3^k si n=3*k
P(H_k)=P(G_k_1)+...+P(G_k_m)-P(Inter(G_k_1,G_k_2)-...-P(Inter(G_k_i,G_k_j)-P(Inter(G_k_m-1,G_k_m)+...+(-1)^t*P(Inter(G_k_i1,..G_k_it))+...+(-1)^m*P(Inter(G_k_1,...,G_k_m))
P(Inter(G_k_1,...,G_k_m))= 0 si n ne vaut pas m*k
= n!/(k!)^m*p_1^k*...*p_m^k
Si t=1 on a alors P(G_k_i)=C(n,k)*p_i^k*p_i^(n-k)
Si t=2 on a alors, avec i et j deux entiers P(Inter(G_k_i,G_k_j))= n!/k!^2/(n-2*k)!*p_i^k*p_j^k*(1-p_i-p_j)^(n-2*k)
Dans le cas général on a donc P(Inter(G_k_i1,...,G_k_it)= n!/(k!)^t/(n-k*t)!*p_i1^k*...*p_it^k*(1-p_i1-...-p_it)^(n-k*t).
On remarque que si n=k*m alors P(Inter(G_k_1,...,G_k_m))=n!/(k!)^m*p_1^k*...*p_m^k=n!/k!^m*p_i1^k*...*p_i(m-1)^k*(1-p_i1-...-p_i(m-1))^k=P(Inter(G_k_i1,...,G_k_i(m-1)) ce que l'on avait empiriquement vérifié ci-dessus.
On a donc P^n(k mouches de type i parmi n)=P^n(X_i=k)=C(n,k)*p_i^k*(1-p_i)^(n-k)
Et P^n(Au moins k mouches de type i parmi n)=P^n(X_i=>k)=C(n,k)*p_i^k*(1-p_i)^(n-k)+...+C(n,n)*p_i^n.
Donc P(A_k)=F(k)-F(k-1).
Erstamm, the Evolved Kastar.
Et après y'en a qui s'plaigne de ma syntaxe trollitique! C'est bon, mon RP a de beaux jours devant lui!
Quetsche, ki sait pô trop si y kapt' ke dall' ou k'si' y veut mêm' pô essayer d'komprend'!
